S21L05 – 高斯朴素贝叶斯

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理解高斯朴素贝叶斯分类器：全面指南
在不断发展的机器学习领域，分类算法在理解大量数据中起着关键作用。在这些算法中，朴素贝叶斯分类器因其简单性和有效性而脱颖而出。本文深入探讨了高斯朴素贝叶斯变体，探索其原理、应用以及使用Python的实现方式。无论您是数据爱好者还是经验丰富的专业人士，本指南将为您提供利用高斯朴素贝叶斯在项目中发挥其力量的知识。
目录

  朴素贝叶斯简介
  什么是高斯朴素贝叶斯？
  在机器学习中的应用
  示例场景：预测电视购买
  理解先验概率和似然概率
  处理数据：平衡与不平衡
  在Python中的实现
  优点和局限性
  结论


朴素贝叶斯简介
朴素贝叶斯分类器 是基于贝叶斯定理的概率机器学习模型。之所以称为“朴素”，是因为它假设用于分类的特征彼此独立，而这一假设在现实世界中很少成立。尽管存在这种过于简化的假设，朴素贝叶斯在实际应用中表现出显著的有效性，特别是在诸如垃圾邮件检测和情感分析等文本分类任务中。
什么是高斯朴素贝叶斯？
虽然传统的朴素贝叶斯分类器可以处理离散数据，高斯朴素贝叶斯则专门针对连续数据设计，假设与每个特征相关的连续值服从高斯（正态）分布。这使其适用于特征呈现钟形分布的场景。
关键特征：

  概率模型：计算数据属于特定类别的概率。
  独立性假设：假设给定类别的情况下，特征相互独立。
  连续数据处理：利用高斯分布进行特征概率估计。

在机器学习中的应用
由于其高效性和简单性，高斯朴素贝叶斯在各个领域得到了广泛应用。一些显著的应用包括：

  垃圾邮件检测：识别不需要的电子邮件。
  医疗诊断：基于症状预测疾病。
  市场细分：根据购买行为对客户进行分类。
  文档分类：将文档组织到预定义的类别中。

示例场景：预测电视购买
为了说明高斯朴素贝叶斯的机制，让我们考虑一个实际的例子：根据某些特征预测一个人是否会 购买电视。
场景细节：
目标：将个体分类为两组——购买电视或不购买电视。
特征：

  电视尺寸：以英寸为单位测量。
  电视价格：以美元计价的费用。
  产品页面停留时间：在产品网页上停留的时间，以秒为单位。

数据集概述：
样本数量：200个个体，其中100个购买电视，100个不购买电视，确保数据集平衡。
平衡数据：每个类别具有相等数量的样本，这种平衡确保分类器不会偏向任何特定类别。

理解先验概率和似然概率
先验概率
先验概率 表示在观察任何数据之前某个类别的初始概率。在我们的例子中：

  P(购买电视) = 0.5
  P(不购买电视) = 0.5

这是通过将每个类别中的样本数量除以样本总数来计算的。
似然概率
似然概率 表示在给定特定类别的情况下，观察到的数据的可能性。它评估数据与模型的拟合程度。对于每个特征，高斯朴素贝叶斯假设正态分布来计算这些概率。
示例：

  电视尺寸：
    
      购买电视：似然概率 = 0.063
      不购买电视：似然概率 = 0.009
    
  

购买电视的较高似然概率表明电视尺寸与购买决策之间存在更强的关联。
处理数据：平衡与不平衡
平衡数据
在平衡数据集中，每个类别具有相等数量的样本。这种平衡确保分类器不会偏向任何特定类别。
不平衡数据
相反，在不平衡数据集中，类别的表示不均等，这可能会扭曲分类器的性能。例如，如果95个个体购买电视，而只有85个不购买电视，数据仍然被认为是相对平衡的。

在Python中的实现
在Python中实现高斯朴素贝叶斯非常简单，主要使用诸如scikit-learn等库。以下是基于提供的Jupyter Notebook内容的逐步指南。
步骤 1：导入必要的库




		
		
			
			
Java
			
			import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import math
			
				
					
				
					1
2
3
4
				
						import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import math
					
				
			
		


步骤 2：可视化数据分布
对于每个特征，可视化两个类别的分布，以了解它们的区分程度。
电视尺寸




		
		
			
			
Java
			
			mu_buy = 40
variance_buy = 30
sigma_buy = math.sqrt(variance_buy)
sizes_buy = np.linspace(mu_buy - 3*sigma_buy, mu_buy + 5*sigma_buy, 100)
plt.plot(sizes_buy, stats.norm.pdf(sizes_buy, mu_buy, sigma_buy), linewidth=7.0, color="green")

mu_not_buy = 55
variance_not_buy = 35
sigma_not_buy = math.sqrt(variance_not_buy)
sizes_not_buy = np.linspace(mu_not_buy - 5*sigma_not_buy, mu_not_buy + 2*sigma_not_buy, 100)
plt.plot(sizes_not_buy, stats.norm.pdf(sizes_not_buy, mu_not_buy, sigma_not_buy), linewidth=7.0, color="red")

plt.title('Size of TV Distribution')
plt.xlabel('Size (inches)')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend(['Buy TV', 'Not Buy TV'])
plt.show()
			
				
					
				
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						mu_buy = 40
variance_buy = 30
sigma_buy = math.sqrt(variance_buy)
sizes_buy = np.linspace(mu_buy - 3*sigma_buy, mu_buy + 5*sigma_buy, 100)
plt.plot(sizes_buy, stats.norm.pdf(sizes_buy, mu_buy, sigma_buy), linewidth=7.0, color="green")
 
mu_not_buy = 55
variance_not_buy = 35
sigma_not_buy = math.sqrt(variance_not_buy)
sizes_not_buy = np.linspace(mu_not_buy - 5*sigma_not_buy, mu_not_buy + 2*sigma_not_buy, 100)
plt.plot(sizes_not_buy, stats.norm.pdf(sizes_not_buy, mu_not_buy, sigma_not_buy), linewidth=7.0, color="red")
 
plt.title('Size of TV Distribution')
plt.xlabel('Size (inches)')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend(['Buy TV', 'Not Buy TV'])
plt.show()
					
				
			
		



电视价格




		
		
			
			
Java
			
			mu_buy = 400
variance_buy = 500
sigma_buy = math.sqrt(variance_buy)
prices_buy = np.linspace(mu_buy - 1*sigma_buy, mu_buy + 6*sigma_buy, 100)
plt.plot(prices_buy, stats.norm.pdf(prices_buy, mu_buy, sigma_buy), linewidth=7.0, color="green")

mu_not_buy = 500
variance_not_buy = 350
sigma_not_buy = math.sqrt(variance_not_buy)
prices_not_buy = np.linspace(mu_not_buy - 4*sigma_not_buy, mu_not_buy + 2*sigma_not_buy, 100)
plt.plot(prices_not_buy, stats.norm.pdf(prices_not_buy, mu_not_buy, sigma_not_buy), linewidth=7.0, color="red")

plt.title('Price of TV Distribution')
plt.xlabel('Price ($)')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend(['Buy TV', 'Not Buy TV'])
plt.show()
			
				
					
				
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17
				
						mu_buy = 400
variance_buy = 500
sigma_buy = math.sqrt(variance_buy)
prices_buy = np.linspace(mu_buy - 1*sigma_buy, mu_buy + 6*sigma_buy, 100)
plt.plot(prices_buy, stats.norm.pdf(prices_buy, mu_buy, sigma_buy), linewidth=7.0, color="green")
 
mu_not_buy = 500
variance_not_buy = 350
sigma_not_buy = math.sqrt(variance_not_buy)
prices_not_buy = np.linspace(mu_not_buy - 4*sigma_not_buy, mu_not_buy + 2*sigma_not_buy, 100)
plt.plot(prices_not_buy, stats.norm.pdf(prices_not_buy, mu_not_buy, sigma_not_buy), linewidth=7.0, color="red")
 
plt.title('Price of TV Distribution')
plt.xlabel('Price ($)')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend(['Buy TV', 'Not Buy TV'])
plt.show()
					
				
			
		



产品页面停留时间




		
		
			
			
Java
			
			mu_buy = 110
variance_buy = 10
sigma_buy = math.sqrt(variance_buy)
time_buy = np.linspace(mu_buy - 20*sigma_buy, mu_buy + 5*sigma_buy, 100)
plt.plot(time_buy, stats.norm.pdf(time_buy, mu_buy, sigma_buy), linewidth=7.0, color="green")

mu_not_buy = 50
variance_not_buy = 200
sigma_not_buy = math.sqrt(variance_not_buy)
time_not_buy = np.linspace(mu_not_buy - 3*sigma_not_buy, mu_not_buy + 5*sigma_not_buy, 100)
plt.plot(time_not_buy, stats.norm.pdf(time_not_buy, mu_not_buy, sigma_not_buy), linewidth=7.0, color="red")

plt.title('Time on Product Page Distribution')
plt.xlabel('Time (seconds)')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend(['Buy TV', 'Not Buy TV'])
plt.show()
			
				
					
				
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						mu_buy = 110
variance_buy = 10
sigma_buy = math.sqrt(variance_buy)
time_buy = np.linspace(mu_buy - 20*sigma_buy, mu_buy + 5*sigma_buy, 100)
plt.plot(time_buy, stats.norm.pdf(time_buy, mu_buy, sigma_buy), linewidth=7.0, color="green")
 
mu_not_buy = 50
variance_not_buy = 200
sigma_not_buy = math.sqrt(variance_not_buy)
time_not_buy = np.linspace(mu_not_buy - 3*sigma_not_buy, mu_not_buy + 5*sigma_not_buy, 100)
plt.plot(time_not_buy, stats.norm.pdf(time_not_buy, mu_not_buy, sigma_not_buy), linewidth=7.0, color="red")
 
plt.title('Time on Product Page Distribution')
plt.xlabel('Time (seconds)')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend(['Buy TV', 'Not Buy TV'])
plt.show()
					
				
			
		



步骤 3：计算概率
对于一个新个体，根据观察到的特征计算两个类别的似然概率。
示例计算：

  电视尺寸：
    
      购买电视：0.063
      不购买电视：0.009
    
  
  电视价格：
    
      购买电视：0.008
      不购买电视：0.0009
    
  
  产品页面停留时间：
    
      购买电视：0.03
      不购买电视：0.0000000000001
    
  

概率相乘：




		
		
			
			
Java
			
			P_buy = 0.5 * 0.063 * 0.008 * 0.0000000000001  # 2.52e-17
P_not_buy = 0.5 * 0.009 * 0.0009 * 0.0000000000001  # Approx. 4.05e-19
			
				
					
				
					1
2
				
						P_buy = 0.5 * 0.063 * 0.008 * 0.0000000000001  # 2.52e-17
P_not_buy = 0.5 * 0.009 * 0.0009 * 0.0000000000001  # Approx. 4.05e-19
					
				
			
		


由于值极小，这会导致下溢问题，使得计算变得不可靠。
步骤 4：使用对数防止下溢
为缓解下溢，将概率转换为对数值：




		
		
			
			
Java
			
			log_P_buy = math.log(0.5) + math.log(0.063) + math.log(0.008) + math.log(0.0000000000001)
log_P_not_buy = math.log(0.5) + math.log(0.009) + math.log(0.0009) + math.log(0.0000000000001)

print(f"P(Buy TV) = {log_P_buy:.2f}")        # -38.2
print(f"P(Not Buy TV) = {log_P_not_buy:.2f}")  # -15.91
			
				
					
				
					1
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						log_P_buy = math.log(0.5) + math.log(0.063) + math.log(0.008) + math.log(0.0000000000001)
log_P_not_buy = math.log(0.5) + math.log(0.009) + math.log(0.0009) + math.log(0.0000000000001)
 
print(f"P(Buy TV) = {log_P_buy:.2f}")        # -38.2
print(f"P(Not Buy TV) = {log_P_not_buy:.2f}")  # -15.91
					
				
			
		


比较对数概率：

  P(购买电视)：-38.2
  P(不购买电视)：-15.91

尽管购买电视获得了两个投票，但不购买电视的较高似然概率（对数概率较小的负值）将个体分类为不购买电视。
优点和局限性
优点

  简单性：易于实现和理解。
  高效性：计算速度快，适用于大型数据集。
  性能：即使在相对较小的数据集上也表现良好。
  特征独立性：由于独立性假设，自然处理无关特征。

局限性

  独立性假设：特征独立的假设在现实世界数据中经常被违反。
  概率估计：虽然对分类有用，实际的概率估计可能不可靠。
  零概率：如果一个分类变量有在训练数据中不存在的类别，模型会分配零概率，使得预测变得困难（可以使用平滑技术处理）。

结论
高斯朴素贝叶斯分类器 是机器学习工具库中的强大工具，尤其适用于处理连续数据。其简单性和高效性使其成为许多分类任务的首选。然而，了解其基本假设和局限性对于有效应用至关重要。
在特征独立且数据遵循高斯分布的场景中，高斯朴素贝叶斯可以提供令人印象深刻的性能。正如在电视购买预测示例中所展示的，即使在平衡的数据集和清晰的似然概率下，模型也能提供有见地的分类。
与任何模型一样，评估其在特定应用上下文中的性能至关重要，可能需要与其他算法进行比较以确保最佳结果。

关键词：高斯朴素贝叶斯，朴素贝叶斯分类器，机器学习，分类算法，Python实现，贝叶斯统计，概率模型，数据科学，预测建模。