S04L03 – Multiplicação de Matrizes

html
Compreendendo a Multiplicação de Matrizes: Um Conceito Fundamental em IA e Aprendizado de Máquina

Índice

Os Fundamentos da Multiplicação de Matrizes
Calculando a Matriz Produto
Implementando a Multiplicação de Matrizes em Python
Conclusão


Os Fundamentos da Multiplicação de Matrizes
No seu núcleo, a multiplicação de matrizes envolve duas matrizes: uma com dimensões \(3 \times 2\) e outra com dimensões \(2 \times 3\). A multiplicação dessas duas matrizes é possível porque o número de colunas na primeira matriz (2) corresponde ao número de linhas na segunda matriz (2). Essa aderência à regra é essencial para que a multiplicação seja válida.

Regras Principais para Lembrar

Compatibilidade de Dimensões: O número de colunas na primeira matriz deve ser igual ao número de linhas na segunda matriz. No nosso exemplo, ambos são 2, tornando a multiplicação viável.
A Ordem Importa: A multiplicação de matrizes não é comutativa. Multiplicar a primeira matriz pela segunda resulta em um resultado diferente tanto em forma quanto em conteúdo do que multiplicar a segunda matriz pela primeira. Especificamente:
    
        \(3 \times 2\) multiplicado por \(2 \times 3\) resulta em uma matriz \(3 \times 3\).
        Por outro lado, multiplicar \(2 \times 3\) por \(3 \times 2\) resulta em uma matriz \(2 \times 2\).
    


Essas diferenças ressaltam a importância da sequência na qual as matrizes são multiplicadas.

Calculando a Matriz Produto
Para calcular o produto de duas matrizes, siga estes passos:

Identificar Linhas e Colunas: Pegue as linhas da primeira matriz e as colunas da segunda matriz.
Multiplicar e Somar: Para cada elemento na matriz resultante, multiplique os elementos correspondentes da linha e da coluna e some-os.


Exemplo Passo a Passo
Considere as seguintes matrizes:

\[
A = \begin{bmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3 \\
4 & 6 \\
\end{bmatrix}_{3 \times 2}, \quad
B = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{bmatrix}_{2 \times 3}
\]

Para encontrar o produto \(C = A \times B\), siga estes cálculos para cada elemento na matriz \(C\):

Primeira Linha, Primeira Coluna:
  \[
  (2 \times 1) + (5 \times 4) = 2 + 20 = 22
  \]

Primeira Linha, Segunda Coluna:
  \[
  (2 \times 2) + (5 \times 5) = 4 + 25 = 29
  \]

Primeira Linha, Terceira Coluna:
  \[
  (2 \times 3) + (5 \times 6) = 6 + 30 = 36
  \]


Aplicando o mesmo método às linhas e colunas restantes, obteremos a matriz produto completa:

\[
C = \begin{bmatrix}
22 & 29 & 36 \\
13 & 17 & 21 \\
28 & 38 & 48 \\
\end{bmatrix}_{3 \times 3}
\]


Implementando a Multiplicação de Matrizes em Python
Embora bibliotecas como NumPy simplifiquem as operações com matrizes, entender o processo subjacente é benéfico. Aqui está uma implementação simples em Python sem usar bibliotecas externas:




		
		
			
			
Java
			
			# Define as matrizes
A = [
    [2, 5],
    [1, 3],
    [4, 6]
]

B = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6]
]

# Dimensões
fr, fc = 3, 2  # A é 3x2
sr, sc = 2, 3  # B é 2x3

# Inicializa a matriz resultado com zeros
C = [[0 for _ in range(sc)] for _ in range(fr)]

# Realiza a multiplicação
for i in range(fr):
    for j in range(sc):
        for k in range(fc):
            C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]

# Exibe o resultado
for row in C:
    print(row)
			
				
					
				
					1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
				
						# Define as matrizes
A = [
    [2, 5],
    [1, 3],
    [4, 6]
]
 
B = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6]
]
 
# Dimensões
fr, fc = 3, 2  # A é 3x2
sr, sc = 2, 3  # B é 2x3
 
# Inicializa a matriz resultado com zeros
C = [[0 for _ in range(sc)] for _ in range(fr)]
 
# Realiza a multiplicação
for i in range(fr):
    for j in range(sc):
        for k in range(fc):
            C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
 
# Exibe o resultado
for row in C:
    print(row)
					
				
			
		


Saída:




		
		
			
			
Java
			
			[22, 29, 36]
[13, 17, 21]
[28, 38, 48]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						[22, 29, 36]
[13, 17, 21]
[28, 38, 48]
					
				
			
		


Este script multiplica duas matrizes iterando através de linhas e colunas, realizando as multiplicações e adições necessárias para formar a matriz produto.

Conclusão
A multiplicação de matrizes, embora aparentemente simples, é uma ferramenta poderosa em IA e aprendizado de máquina. Ela serve como a base para vários algoritmos, incluindo aqueles usados em redes neurais e transformações de dados. Compreender seus princípios e ser capaz de implementá-la do zero aprimora a capacidade de entender conceitos matemáticos mais complexos e suas aplicações na tecnologia.
Ao mergulhar na mecânica da multiplicação de matrizes, conforme demonstrado acima, os estudantes podem construir uma base sólida para avançar nos campos de IA e aprendizado de máquina.