S04L02 – 행렬 연산 및 스칼라 연산

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기본 행렬 연산 이해하기: 덧셈, 뺄셈 및 스칼라 연산

목차

1. 행렬 덧셈 및 뺄셈
2. 스칼라 연산
결론


1. 행렬 덧셈 및 뺄셈

정의:
행렬 덧셈과 뺄셈은 두 행렬을 결합하여 각 대응 요소를 더하거나 빼는 연산입니다. 그러나 이러한 연산이 유효하기 위해서는 중요한 조건이 충족되어야 합니다: 행렬은 동일한 차원을 가져야 합니다. 이는 두 행렬이 동일한 행과 열의 수를 가져야 함을 의미합니다.

예제:
A와 B 두 행렬을 각각 3x2 크기(3행 2열)로 고려해 보겠습니다:




		
		
			
			
Java
			
			\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \\
\end{bmatrix},
\quad
B = \begin{bmatrix}
5 & 5 \\
7 & 6 \\
\end{bmatrix}
\]
			
				
					
				
					1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
				
						\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \\
\end{bmatrix},
\quad
B = \begin{bmatrix}
5 & 5 \\
7 & 6 \\
\end{bmatrix}
\]
					
				
			
		



덧셈:
A와 B를 더하려면 각 대응 요소를 더합니다:




		
		
			
			
Java
			
			\[
A + B = \begin{bmatrix}
1+5 & 2+5 \\
3+7 & 4+6 \\
5+? & 6+? \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
6 & 7 \\
10 & 10 \\
? & ? \\
\end{bmatrix}
\]
			
				
					
				
					1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
				
						\[
A + B = \begin{bmatrix}
1+5 & 2+5 \\
3+7 & 4+6 \\
5+? & 6+? \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
6 & 7 \\
10 & 10 \\
? & ? \\
\end{bmatrix}
\]
					
				
			
		


주의: 덧셈을 수행하기 전에 두 행렬이 동일한 행과 열의 수를 가지는지 확인하세요. 제공된 예제는 설명을 위한 불완전한 행을 포함하고 있습니다; 두 행렬이 완전히 정의되어 있는지 확인하세요.

뺄셈:
유사하게, 행렬 A에서 행렬 B를 빼는 것은 각 대응 요소를 뺄셈하는 것을 포함합니다:




		
		
			
			
Java
			
			\[
A - B = \begin{bmatrix}
1-5 & 2-5 \\
3-7 & 4-6 \\
5-? & 6-? \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-4 & -3 \\
-4 & -2 \\
? & ? \\
\end{bmatrix}
\]
			
				
					
				
					1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
				
						\[
A - B = \begin{bmatrix}
1-5 & 2-5 \\
3-7 & 4-6 \\
5-? & 6-? \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-4 & -3 \\
-4 & -2 \\
? & ? \\
\end{bmatrix}
\]
					
				
			
		



핵심 포인트:

차원 일치: 두 행렬은 동일한 차원을 가져야 합니다.
요소별 연산: 연산은 대응 요소에 대해 수행됩니다.
결과 행렬: 결과 행렬은 원래 행렬과 동일한 차원을 가집니다.


2. 스칼라 연산

정의:
스칼라 연산은 스칼라로 알려진 단일 숫자로 행렬을 더하거나 빼거나 곱하거나 나누는 것을 포함합니다. 이러한 연산은 행렬의 각 요소에 개별적으로 수행됩니다.

스칼라 연산의 종류:

스칼라 덧셈:

연산: 행렬의 모든 요소에 스칼라를 더합니다.
예제:





		
		
			
			
Java
			
			\[
\text{Matrix} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix},
\quad \text{Scalar} = 5
\]
\[
\text{Matrix} + 5 = \begin{bmatrix}
1+5 & 2+5 \\
3+5 & 4+5 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
6 & 7 \\
8 & 9 \\
\end{bmatrix}
\]
			
				
					
				
					1
2
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						\[
\text{Matrix} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix},
\quad \text{Scalar} = 5
\]
\[
\text{Matrix} + 5 = \begin{bmatrix}
1+5 & 2+5 \\
3+5 & 4+5 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
6 & 7 \\
8 & 9 \\
\end{bmatrix}
\]
					
				
			
		



스칼라 뺄셈:

연산: 행렬의 모든 요소에서 스칼라를 뺍니다.
예제:





		
		
			
			
Java
			
			\[
\text{Matrix} - 2 = \begin{bmatrix}
1-2 & 2-2 \\
3-2 & 4-2 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\]
			
				
					
				
					1
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3
4
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6
7
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10
				
						\[
\text{Matrix} - 2 = \begin{bmatrix}
1-2 & 2-2 \\
3-2 & 4-2 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\]
					
				
			
		



스칼라 곱셈:

연산: 행렬의 모든 요소에 스칼라를 곱합니다.
예제:





		
		
			
			
Java
			
			\[
\text{Matrix} \times 3 = \begin{bmatrix}
1 \times 3 & 2 \times 3 \\
3 \times 3 & 4 \times 3 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
3 & 6 \\
9 & 12 \\
\end{bmatrix}
\]
\]
			
				
					
				
					1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
				
						\[
\text{Matrix} \times 3 = \begin{bmatrix}
1 \times 3 & 2 \times 3 \\
3 \times 3 & 4 \times 3 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
3 & 6 \\
9 & 12 \\
\end{bmatrix}
\]
\]
					
				
			
		



스칼라 나눗셈:

연산: 행렬의 모든 요소를 스칼라로 나눕니다.
예제:





		
		
			
			
Java
			
			\[
\text{Matrix} \div 2 = \begin{bmatrix}
1 \div 2 & 2 \div 2 \\
3 \div 2 & 4 \div 2 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0.5 & 1 \\
1.5 & 2 \\
\end{bmatrix}
\]
\]
			
				
					
				
					1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
				
						\[
\text{Matrix} \div 2 = \begin{bmatrix}
1 \div 2 & 2 \div 2 \\
3 \div 2 & 4 \div 2 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0.5 & 1 \\
1.5 & 2 \\
\end{bmatrix}
\]
\]
					
				
			
		





핵심 포인트:

일관된 연산: 스칼라는 행렬의 모든 요소에 일관되게 영향을 미칩니다.
유연성: 스칼라 연산은 더 복잡한 조작을 위해 행렬 연산과 결합될 수 있습니다.
응용: 행렬의 스케일 조정, 알고리즘에서 가중치 조정 등에 유용합니다.


결론
덧셈, 뺄셈, 스칼라 조작과 같은 기본 행렬 연산을 숙달하는 것은 선형대수학과 행렬 이론에 크게 의존하는 분야에 진출하는 모든 사람에게 필수적입니다. 이러한 연산은 단순한 계산을 용이하게 할 뿐만 아니라 행렬 곱셈, 행렬식, 역행렬, 벡터 공간과 같은 더 복잡한 개념을 이해하는 길을 열어줍니다. 행렬의 광범위한 응용을 계속 탐구함에 따라 이러한 기초적인 연산은 당신의 수학 도구 키트에서 중요한 도구로 기능할 것입니다.

계속 지켜봐 주세요: 다음 논의에서는 행렬 곱셈을 자세히 다루어, 행렬을 보다 복잡한 방식으로 결합하는 방법과 이러한 연산을 지배하는 기본 원리를 이해할 것입니다.