S06L01 – 선형 회귀의 작동 및 비용 함수

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선형 회귀 이해하기: AI 및 머신 러닝의 기초

목차

  1. 선형 회귀란 무엇인가?
  2. 선형 회귀의 주요 구성 요소
  3. 예제 이해하기: 나이 vs 체중
  4. 비용 함수
  5. 최적 솔루션 찾기
  6. 도전 과제: 국소 최소값
  7. 결론

선형 회귀란 무엇인가?

선형 회귀는 하나 이상의 예측 변수를 기반으로 연속적인 결과 변수를 예측하는 감독 학습 알고리즘입니다. 더 간단히 말해서, 변수 간의 관계를 이해하고 미래의 추세를 예측하는 데 도움을 줍니다.

선형 회귀 그래프

그림: 나이와 체중 간의 관계를 보여주는 단순 선형 회귀 그래프.

선형 회귀의 주요 구성 요소

가설 함수

선형 회귀의 핵심에는 입력 변수와 출력 변수 간의 관계를 모델링하는 가설 함수가 있습니다. 선형 회귀에서 가설 함수의 일반적인 형태는 다음과 같습니다:

여기서 H는 예측 값을 나타내고, B0는 y-절편이며, B1은 선의 기울기입니다.

매개변수: B0와 B1

  • B0 (절편): 이 매개변수는 모든 예측 변수가 0일 때 Y의 값을 나타냅니다. 이는 선이 Y축을 교차하는 지점입니다.
  • B1 (기울기): 이 매개변수는 선의 경사를 결정합니다. 예측 변수의 한 단위 변화에 따라 Y가 얼마나 변하는지를 나타냅니다.

θ0 및 θ1와 같은 다른 표기법도 다양한 자료에서 B0 및 B1과 교환 가능하게 사용됩니다.

예제 이해하기: 나이 vs 체중

선형 회귀를 시각화하기 위해, 아이의 나이와 그들의 체중 간의 관계를 조사하는 가상의 예를 고려해 보겠습니다. 가상의 데이터 포인트가 그래프에 플롯되어 있다고 가정해 보겠습니다:

  • X축: 아이의 나이 (0세에서 10세까지의 범위)
  • Y축: 체중 (킬로그램 단위)
나이 vs 체중 그래프

그림: 선형 회귀 선이 적용된 나이 vs 체중 데이터 포인트.

이 그래프에서 각 점은 아이의 나이와 해당 체중을 나타냅니다. 이 경우 선형 회귀의 목적은 아이의 나이를 기반으로 체중을 예측하는 최적의 직선을 찾는 것입니다.

비용 함수

선형 회귀 모델이 데이터에 얼마나 잘 맞는지 결정하기 위해 비용 함수를 사용합니다. 비용 함수는 예측 값과 실제 데이터 포인트 간의 오류를 정량화합니다.

비용 함수 계산하기

선형 회귀에서 가장 일반적으로 사용되는 비용 함수는 평균 제곱 오차 (MSE)로, 다음과 같이 정의됩니다:

여기서:

  • m = 데이터 포인트의 수
  • Hi = i번째 데이터 포인트에 대한 예측 값
  • Yi = i번째 데이터 포인트에 대한 실제 값

차이를 제곱함으로써, 비용 함수는 모든 오류가 양수가 되도록 하고 작은 오류보다 큰 오류를 더 강조합니다.

비용 함수 시각화

그림: 데이터 포인트와 회귀선 간의 거리를 보여주는 비용 함수의 시각화.

더 낮은 비용은 모델이 데이터에 더 잘 맞는다는 것을 나타냅니다.

최적 솔루션 찾기

선형 회귀의 목표는 비용 함수를 최소화하는 것입니다. 이는 최적의 데이터 적합선을 찾기 위해 매개변수 B0와 B1을 조정하는 것을 포함합니다.

단계별 프로세스:

  1. 매개변수 초기화: B0와 B1에 임의의 값을 설정합니다.
  2. 예측 계산: 가설 함수를 사용하여 모든 데이터 포인트에 대한 예측 값 (H)을 계산합니다.
  3. 비용 계산: 예측 값과 실제 값을 사용하여 비용 함수를 평가합니다.
  4. 매개변수 업데이트: 비용을 줄이기 위해 B0와 B1을 조정합니다.
  5. 반복: 비용이 최소값에 수렴할 때까지 프로세스를 반복합니다.

예를 들어, B1을 5로 시작하면 실제 데이터 포인트와의 큰 편차로 인해 높은 비용이 발생할 수 있습니다. B1을 2.5와 같은 값으로 조정하면 비용이 크게 감소하여 더 나은 적합을 나타낼 수 있습니다.

도전 과제: 국소 최소값

비용 함수를 최소화하는 과정에서 알고리즘은 국소 최소값—특정 영역 내에서 비용이 최소화되지만 절대적으로 가장 낮은 비용이 아닌 지점—에 도달할 수 있습니다. 이는 알고리즘이 최적에 근접한 솔루션에 만족할 수 있음을 의미합니다.

그러나 실제로는, 특히 선형 회귀의 경우 비용 함수의 볼록한 특성 때문에 전역 최소값을 찾는 것이 종종 간단합니다. 그럼에도 불구하고, 국소 최소값의 개념을 이해하는 것은 더 복잡한 모델을 다룰 때 중요합니다.

결론

선형 회귀는 방대한 AI 및 머신 러닝의 세계로 나아가는 디딤돌 역할을 합니다. 가설 함수, 비용 함수, 매개변수 최적화와 같은 핵심 원리를 이해함으로써 더 고급 알고리즘과 모델을 다루기 위한 탄탄한 기초를 마련할 수 있습니다. 나이와 체중과 같은 간단한 데이터 세트를 분석하든 복잡한 AI 시스템에 뛰어들든, 선형 회귀를 마스터하는 것은 필수적입니다.

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