S02L07 – प्रतिशतक, क्षण और क्वांटाइल

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मूल सांख्यिकीय अवधारणाओं को समझना: प्रतिशत, पर्सेंटाइल, क्वारटाइल, और मोमेंट्स

सामग्री सूची

परिचय
प्रतिशत: मूल बातें
पर्सेंटाइल: डेटा में स्थिति निर्धारण
क्वारटाइल: डेटा सेट को विभाजित करना
मोमेंट्स: माध्य, विचलन, झुकाव, और कर्टोसिस
डेटा वितरण: सामान्य बनाम घातीय
Python के साथ व्यावहारिक कार्यान्वयन
निष्कर्ष


परिचय
सांख्यिकी डेटा विश्लेषण की रीढ़ बनाती है, डेटा को समझने और अर्थ निकालने के लिए उपकरण और कार्यप्रणालियाँ प्रदान करती है। प्रतिशत, पर्सेंटाइल, क्वारटाइल, और मोमेंट्स जैसे प्रमुख सांख्यिकीय माप डेटा वितरण, परिवर्तनशीलता, और प्रवृत्तियों में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। यह लेख इन अवधारणाओं का विस्तार से अन्वेषण करता है, उनकी महत्ता और वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में, विशेष रूप से मशीन लर्निंग और डेटा विज़ुअलाइज़ेशन में उनके अनुप्रयोग को दर्शाता है।

प्रतिशत: मूल बातें
प्रतिशत एक सरल अवधारणा है जो 100 में से एक भाग को दर्शाती है। यह विभिन्न संदर्भों में अनुपात, तुलना, और परिवर्तनों को व्यक्त करने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला एक माप है।

प्रतिशत की गणना
प्रतिशत की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:
\[
\text{Percentage} = \left( \frac{\text{Part}}{\text{Whole}} \right) \times 100
\]
उदाहरण:

यदि आप 100 में से 95 प्राप्त करते हैं, तो आपका प्रतिशत है:

\[
\left( \frac{95}{100} \right) \times 100 = 95\%
\]

100 में से 150 के अंक के लिए, प्रतिशत है:

\[
\left( \frac{150}{200} \right) \times 100 = 75\%
\]
प्रतिशत विभिन्न विश्लेषणों में मूलभूत हैं, शैक्षणिक ग्रेडिंग से लेकर बाजार हिस्सेदारी के आकलन तक।

पर्सेंटाइल: डेटा में स्थिति निर्धारण
पर्सेंटाइल किसी मान के डेटा सेट के भीतर सापेक्ष स्थिति को दर्शाते हैं। वे एक डेटा सेट को 100 समान हिस्सों में विभाजित करते हैं, प्रत्येक 1% का प्रतिनिधित्व करता है।

पर्सेंटाइल को समझना

25वां पर्सेंटाइल (Q1): डेटा बिंदुओं का 25% इस मान से नीचे होता है।
50वां पर्सेंटाइल (माध्य या Q2): डेटा बिंदुओं का 50% इस मान से नीचे होता है।
75वां पर्सेंटाइल (Q3): डेटा बिंदुओं का 75% इस मान से नीचे होता है।


व्यावहारिक उदाहरण:
एक जनसंख्या में धन वितरण पर विचार करें:

यदि किसी परिवार की वार्षिक आय 25वां पर्सेंटाइल पर है, तो इसका मतलब है कि 25% परिवार इससे कम कमाते हैं, और 75% अधिक कमाते हैं।
50वां पर्सेंटाइल (माध्य) पर, आधी आबादी कम कमाती है, और आधी अधिक कमाती है।

दृश्य प्रतिनिधित्व:
कल्पना करें कि एक ग्राफ में x-अक्ष पर्सेंटाइल (1 से 99) को दर्शाता है और y-अक्ष संचयी धन को दिखाता है। ऐसा ग्राफ धन असमानता को विज़ुअलाइज़ करने में मदद करता है, यह दर्शाते हुए कि धन विभिन्न पर्सेंटाइल में असमान रूप से कैसे संचित होता है।

क्वारटाइल: डेटा सेट को विभाजित करना
क्वारटाइल एक डेटा सेट को चार समान हिस्सों में विभाजित करते हैं, प्रत्येक 25% डेटा का प्रतिनिधित्व करता है।

चार प्रमुख क्वारटाइल

पहला क्वारटाइल (Q1): डेटा का 25% इस मान से नीचे होता है।
दूसरा क्वारटाइल (Q2): इसे माध्य भी कहा जाता है, जहाँ डेटा का 50% नीचे होता है।
तीसरा क्वारटाइल (Q3): डेटा का 75% इस मान से नीचे होता है।
चौथा क्वारटाइल (Q4): डेटा बिंदुओं का सबसे ऊंचा 25%।


क्वारटाइल का महत्व
क्वारटाइल डेटा के फैलाव और केंद्रीय प्रवृत्ति को समझने में महत्वपूर्ण हैं। वे बॉक्स प्लॉट्स बनाने में मौलिक हैं, जो वितरण को विज़ुअलाइज़ करते हैं, आउटलेयर की पहचान करते हैं, और विभिन्न डेटा सेट्स की तुलना करते हैं।

बॉक्स प्लॉट के घटक:

बॉक्स: Q1 और Q3 के बीच के इंटरक्वारटाइल रेंज (IQR) का प्रतिनिधित्व करता है।
माध्य रेखा: बॉक्स के अंदर, माध्य (Q2) को दर्शाती है।
व्हिस्कर्स: Q1 और Q3 से 1.5 * IQR के भीतर सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों तक विस्तारित होते हैं।
आउटलायर्स: व्हिस्कर्स से परे डेटा बिंदु।


मोमेंट्स: माध्य, विचलन, झुकाव, और कर्टोसिस
मोमेंट्स डेटा वितरण के आकार से संबंधित मात्रात्मक माप हैं। पहले चार मोमेंट्स डेटा की विशेषताओं की मूल्यवान अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं:

पहला मोमेंट (माध्य): औसत मान।
दूसरा मोमेंट (विचलन): माध्य के चारों ओर डेटा फैलाव को मापता है।
तीसरा मोमेंट (झुकाव):strong> वितरण में विषमता को दर्शाता है।

चौथा मोमेंट (कर्टोसिस): वितरण की "पूंछों" को वर्णित करता है।


विस्तृत व्याख्या

1. माध्य
माध्य सभी डेटा बिंदुओं का योग मानों की संख्या से विभाजित होता है। यह डेटा का केंद्रीय मान प्रस्तुत करता है।
\[
\text{Mean} (\mu) = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]

2. विचलन
विचलन मापता है कि डेटा बिंदु माध्य से कितने भिन्न हैं।
\[
\text{Variance} (\sigma^2) = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}
\]
उच्च विचलन अधिक फैलाव को इंगित करता है।

3. झुकाव
झुकाव डेटा वितरण की विषमता को मापता है।

धनात्मक झुकाव: पूंछ दाईं ओर बढ़ती है; माध्य > माध्यिका।
ऋणात्मक झुकाव: पूंछ बाईं ओर बढ़ती है; माध्य < माध्यिका।

\[
\text{Skewness} = \frac{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^3}{\sigma^3}
\]

4. कर्टोसिस
कर्टोसिस वितरण की "पूंछों" को मापता है।

उच्च कर्टोसिस: पूंछों में अधिक डेटा; तेज चोटी।
कम कर्टोसिस: पूंछों में कम डेटा; सपाट चोटी।

\[
\text{Kurtosis} = \frac{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^4}{\sigma^4} - 3
\]
*(3 घटाने से मानक सामान्य वितरण के कर्टोसिस को शून्य में सामान्यीकृत किया जाता है।)*

डेटा वितरण: सामान्य बनाम घातीय
डेटा वितरण को समझना सांख्यिकी और मशीन लर्निंग में महत्वपूर्ण है, जो यह प्रभावित करता है कि मॉडल डेटा को कैसे व्याख्यायित करते हैं।

सामान्य वितरण
अक्सर बेल कर्व के रूप में जाना जाता है, सामान्य वितरण माध्य के आसपास सममित होता है, यह दर्शाता है कि माध्य के नजदीक के डेटा अधिक सामान्य हैं।

विशेषताएँ:

माध्य = माध्यिका = मोड
परिभाषित पैरामीटर द्वारा: माध्य (μ) और मानक विचलन (σ)
लगभग 68% डेटा माध्य से ±1σ के भीतर, 95% ±2σ के भीतर, और 99.7% ±3σ के भीतर होता है।


घातीय वितरण
घातीय वितरण का उपयोग मुख्य रूप से पोइसो प्रक्रियाओं में घटनाओं के बीच के समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह एकल पैरामीटर, λ (दर) से परिभाषित होता है।

विशेषताएँ:

असममित: लंबे पूंछ के साथ दाईं ओर झुकी हुई।
मेमोरीलेस गुण: भविष्य की संभावनाएं पिछले घटनाओं से स्वतंत्र होती हैं।


तुलना:
जहां सामान्य वितरण सममित है, वहीँ घातीय वितरण झुकी हुई है, जिससे वे विभिन्न प्रकार के डेटा विश्लेषण के लिए उपयुक्त होते हैं।

Python के साथ व्यावहारिक कार्यान्वयन
इन अवधारणाओं की समझ को मजबूत करने के लिए, आइए Python के numpy, matplotlib, और scipy लाइब्रेरी का उपयोग करके एक व्यावहारिक उदाहरण का अन्वेषण करें।

डेटा उत्पन्न करना और विज़ुअलाइज़ करना




		
		
			
			
Java
			
			import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as sp

# Generate 100,000 data points from a normal distribution
values = np.random.normal(0.0, 1.5, 100000)

# Plot histogram
plt.hist(values, bins=50, edgecolor='k')
plt.title('Histogram of Normally Distributed Data')
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Frequency')
plt.show()
			
				
					
				
					1
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13
				
						import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as sp
 
# Generate 100,000 data points from a normal distribution
values = np.random.normal(0.0, 1.5, 100000)
 
# Plot histogram
plt.hist(values, bins=50, edgecolor='k')
plt.title('Histogram of Normally Distributed Data')
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Frequency')
plt.show()
					
				
			
		


आउटपुट:


मोमेंट्स की गणना

पहला मोमेंट: माध्य




		
		
			
			
Java
			
			mean = np.mean(values)
print(f"Mean: {mean}")
			
				
					
				
					1
2
				
						mean = np.mean(values)
print(f"Mean: {mean}")
					
				
			
		


आउटपुट:





		
		
			
			
Java
			
			Mean: 0.00617
			
				
					
				
					1
				
						Mean: 0.00617
					
				
			
		




*एक हल्का ऋणात्मक झुकाव संकेत करता है।*

दूसरा मोमेंट: विचलन




		
		
			
			
Java
			
			variance = np.var(values)
print(f"Variance: {variance}")
			
				
					
				
					1
2
				
						variance = np.var(values)
print(f"Variance: {variance}")
					
				
			
		


आउटपुट:





		
		
			
			
Java
			
			Variance: 2.24267
			
				
					
				
					1
				
						Variance: 2.24267
					
				
			
		




तीसरा मोमेंट: झुकाव




		
		
			
			
Java
			
			skewness = sp.skew(values)
print(f"Skewness: {skewness}")
			
				
					
				
					1
2
				
						skewness = sp.skew(values)
print(f"Skewness: {skewness}")
					
				
			
		


आउटपुट:





		
		
			
			
Java
			
			Skewness: -0.00366
			
				
					
				
					1
				
						Skewness: -0.00366
					
				
			
		



*एक हल्का ऋणात्मक झुकाव संकेत करता है।*

चौथा मोमेंट: कर्टोसिस




		
		
			
			
Java
			
			kurtosis = sp.kurtosis(values)
print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
			
				
					
				
					1
2
				
						kurtosis = sp.kurtosis(values)
print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
					
				
			
		


आउटपुट:





		
		
			
			
Java
			
			Kurtosis: 0.01309
			
				
					
				
					1
				
						Kurtosis: 0.01309
					
				
			
		



*शून्य के नजदीक, यह सामान्य वितरण के समान वितरण को इंगित करता है।*

व्याख्या

माध्य (~0): डेटा शून्य के इर्द-गिर्द केंद्रीकृत है।
विचलन (~2.24): डेटा बिंदुओं के फैलाव को इंगित करता है।
झुकाव (~-0.00366):strong> लगभग सममित; हल्का ऋणात्मक झुकाव।

कर्टोसिस (~0.01309):strong> सामान्य वितरण की तुलना में सपाटता नगण्य है।



निष्कर्ष
प्रतिशत, पर्सेंटाइल, क्वारटाइल, और मोमेंट्स जैसी सांख्यिकीय अवधारणाओं की गहरी समझ प्रभावी डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग के लिए अनिवार्य है। ये माप केवल डेटा वितरण और परिवर्तनशीलता में अंतर्दृष्टि प्रदान नहीं करते हैं, बल्कि उन्नत विश्लेषणात्मक तकनीकों और मॉडल-निर्माण प्रक्रियाओं का आधार भी हैं। Python के numpy और scipy जैसे उपकरणों का उपयोग करके, पेशेवर इन सांख्यिकी को कुशलतापूर्वक गणना और व्याख्यायित कर सकते हैं, सूचित निर्णय लेने को प्रेरित कर सकते हैं और डेटा-आधारित सफलता को बढ़ावा दे सकते हैं।

चाहे आप वित्तीय डेटा का विश्लेषण कर रहे हों, जनसंख्या जनसांख्यिकी का आकलन कर रहे हों, या मशीन लर्निंग मॉडल्स को परिष्कृत कर रहे हों, ये मौलिक सांख्यिकी मजबूत और अंतर्दृष्टिपूर्ण विश्लेषण के लिए आधारशिला के रूप में कार्य करती हैं।

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*इन आवश्यक सांख्यिकीय अवधारणाओं को महारत हासिल कर और इन्हें वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में लागू करके अपनी डेटा यात्रा को सशक्त बनाएं।*