S18L02 – Covarianza

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Comprendiendo la Varianza, la Covarianza y la Correlación: Una Guía Completa

Tabla de Contenidos

Introducción
Varianza: Midiendo la Dispersión de los Datos
Covarianza: Entendiendo la Variabilidad Conjunta
Correlación: Midiendo la Fuerza de las Relaciones
Ejemplo Práctico: Azúcar Residual vs. Calidad en el Vino
Pendientes Positivas y Negativas: Interpretando Relaciones
Calculando Varianza, Covarianza y Correlación
Conclusión


Introducción
Al analizar conjuntos de datos, es crucial entender no solo las características individuales de cada variable, sino también cómo interactúan entre sí. La varianza proporciona una medida de cuánto se desvía una sola variable de su media, mientras que la covarianza y la correlación evalúan cómo cambian dos variables juntas. Dominar estos conceptos permite interpretaciones de datos más precisas y una toma de decisiones informada.

Varianza: Midiendo la Dispersión de los Datos
Varianza cuantifica el grado en que cada punto de datos en un conjunto difiere de la media (promedio) del conjunto de datos. Proporciona una visión de la dispersión o distribución de los datos.

Fórmula para la Varianza
Para un conjunto de datos con \( n \) observaciones, la varianza (\( \sigma^2 \)) se calcula como:




		
		
			
			
Java
			
			\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2}{n - 1}
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2}{n - 1}
\]
					
				
			
		



\( X_i \): Cada punto de datos individual
\( \mu \): Media del conjunto de datos
\( n \): Número de observaciones


Cálculo de Ejemplo
Considere el siguiente conjunto de datos que representa las puntuaciones de calidad de una marca específica de vino:


Observación
Puntuación de Calidad (\( X \))


1
50


2
100


3
200


4
250


5
300


6
400




Calcular la Media (\( \mu \)):





		
		
			
			
Java
			
			\[
\mu = \frac{50 + 100 + 200 + 250 + 300 + 400}{6} = \frac{1300}{6} \approx 216.67
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\mu = \frac{50 + 100 + 200 + 250 + 300 + 400}{6} = \frac{1300}{6} \approx 216.67
\]
					
				
			
		




Calcular Cada Desviación de la Media y Cuadrarla:



\( X_i \)
\( X_i - \mu \)
\( (X_i - \mu)^2 \)


50
-166.67
27,778


100
-116.67
13,611


200
-16.67
278


250
33.33
1,111


300
83.33
6,944


400
183.33
33,611




Suma de las Desviaciones al Cuadrado:





		
		
			
			
Java
			
			\[
\sum (X_i - \mu)^2 = 27,778 + 13,611 + 278 + 1,111 + 6,944 + 33,611 = 82,233
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\sum (X_i - \mu)^2 = 27,778 + 13,611 + 278 + 1,111 + 6,944 + 33,611 = 82,233
\]
					
				
			
		




Calcular la Varianza:





		
		
			
			
Java
			
			\[
\sigma^2 = \frac{82,233}{6 - 1} = \frac{82,233}{5} = 16,446.6
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\sigma^2 = \frac{82,233}{6 - 1} = \frac{82,233}{5} = 16,446.6
\]
					
				
			
		


Interpretación: Una varianza mayor indica una mayor dispersión en las puntuaciones de calidad, lo que significa que las puntuaciones están distribuidas en un rango más amplio.

Covarianza: Entendiendo la Variabilidad Conjunta
Covarianza mide la relación direccional entre dos variables. Indica si un aumento en una variable tiende a estar asociado con un aumento (covarianza positiva) o una disminución (covarianza negativa) en otra variable.

Fórmula para la Covarianza
Para dos variables \( X \) e \( Y \) con \( n \) observaciones cada una, la covarianza (\( \text{Cov}(X,Y) \)) se calcula como:




		
		
			
			
Java
			
			\[
\text{Cov}(X,Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu_X)(Y_i - \mu_Y)}{n - 1}
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\text{Cov}(X,Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu_X)(Y_i - \mu_Y)}{n - 1}
\]
					
				
			
		



\( \mu_X \), \( \mu_Y \): Medias de las variables \( X \) e \( Y \) respectivamente


Covarianza Positiva vs. Negativa

Covarianza Positiva: Indica que a medida que \( X \) aumenta, \( Y \) también tiende a aumentar.
Covarianza Negativa: Sugiere que a medida que \( X \) aumenta, \( Y \) tiende a disminuir.


Cálculo de Ejemplo
Usando el conjunto de datos anterior, supongamos que los niveles de azúcar residual para la misma marca de vino son los siguientes:


Observación
Azúcar Residual (\( Y \))


1
3


2
4


3
5


4
6


5
7


6
8




Calcular las Medias:

- Media de \( X \) (Puntuaciones de Calidad):




		
		
			
			
Java
			
			\[
\mu_X \approx 216.67
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\mu_X \approx 216.67
\]
					
				
			
		


- Media de \( Y \) (Azúcar Residual):




		
		
			
			
Java
			
			\[
\mu_Y = \frac{3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8}{6} = \frac{33}{6} = 5.5
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\mu_Y = \frac{3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8}{6} = \frac{33}{6} = 5.5
\]
					
				
			
		




Calcular Cada Producto de las Desviaciones:



Observación
\( X_i - \mu_X \)
\( Y_i - \mu_Y \)
\( (X_i - \mu_X)(Y_i - \mu_Y) \)


1
-166.67
-2.5
416.675


2
-116.67
-1.5
175.005


3
-16.67
-0.5
8.335


4
33.33
0.5
16.665


5
83.33
1.5
124.995


6
183.33
2.5
458.325




Suma de los Productos:





		
		
			
			
Java
			
			\[
\sum (X_i - \mu_X)(Y_i - \mu_Y) = 416.675 + 175.005 + 8.335 + 16.665 + 124.995 + 458.325 = 1,199.975
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\sum (X_i - \mu_X)(Y_i - \mu_Y) = 416.675 + 175.005 + 8.335 + 16.665 + 124.995 + 458.325 = 1,199.975
\]
					
				
			
		




Calcular la Covarianza:





		
		
			
			
Java
			
			\[
\text{Cov}(X,Y) = \frac{1,199.975}{6 - 1} = \frac{1,199.975}{5} = 239.995
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\text{Cov}(X,Y) = \frac{1,199.975}{6 - 1} = \frac{1,199.975}{5} = 239.995
\]
					
				
			
		


Interpretación: La covarianza positiva de aproximadamente 240 indica una relación positiva entre el azúcar residual y la calidad. A medida que aumenta el azúcar residual, la puntuación de calidad tiende a aumentar también.

Correlación: Midiendo la Fuerza de las Relaciones
Mientras que la covarianza indica la dirección de una relación, la correlación cuantifica tanto la fuerza como la dirección de la relación entre dos variables. A diferencia de la covarianza, la correlación está estandarizada, lo que facilita su interpretación y comparación entre diferentes conjuntos de datos.

Fórmula para la Correlación
El coeficiente de correlación de Pearson (\( r \)) se calcula como:




		
		
			
			
Java
			
			\[
r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}
\]
					
				
			
		



\( \text{Cov}(X,Y) \): Covarianza de \( X \) e \( Y \)
\( \sigma_X \), \( \sigma_Y \): Desviaciones estándar de \( X \) e \( Y \) respectivamente


Interpretación de los Valores de Correlación

\( r = 1 \): Correlación positiva perfecta
\( r = -1 \): Correlación negativa perfecta
\( r = 0 \): Sin correlación
\( 0 < |r| < 1 \): Grados variables de correlación positiva o negativa


Cálculo de Ejemplo
Usando el valor de covarianza anterior (\( \text{Cov}(X,Y) = 240 \)) y la varianza de \( X \) (\( \sigma_X^2 = 16,446.6 \)), calculemos las desviaciones estándar:


Desviación Estándar de \( X \):





		
		
			
			
Java
			
			\[
\sigma_X = \sqrt{16,446.6} \approx 128.22
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\sigma_X = \sqrt{16,446.6} \approx 128.22
\]
					
				
			
		




Varianza de \( Y \):

Calcule la varianza para el azúcar residual:




		
		
			
			
Java
			
			\[
\sigma_Y^2 = \frac{\sum (Y_i - \mu_Y)^2}{n - 1} = \frac{(-2.5)^2 + (-1.5)^2 + (-0.5)^2 + 0.5^2 + 1.5^2 + 2.5^2}{5} = \frac{6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25}{5} = \frac{17.5}{5} = 3.5
\]
\]
			
				
					
				
					1
2
3
4
				
						\[
\sigma_Y^2 = \frac{\sum (Y_i - \mu_Y)^2}{n - 1} = \frac{(-2.5)^2 + (-1.5)^2 + (-0.5)^2 + 0.5^2 + 1.5^2 + 2.5^2}{5} = \frac{6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25}{5} = \frac{17.5}{5} = 3.5
\]
\]
					
				
			
		




Desviación Estándar de \( Y \):





		
		
			
			
Java
			
			\[
\sigma_Y = \sqrt{3.5} \approx 1.87
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\sigma_Y = \sqrt{3.5} \approx 1.87
\]
					
				
			
		




Calcular la Correlación:





		
		
			
			
Java
			
			\[
r = \frac{240}{128.22 \times 1.87} \approx \frac{240}{239.73} \approx 1.002
\]
\]
			
				
					
				
					1
2
3
4
				
						\[
r = \frac{240}{128.22 \times 1.87} \approx \frac{240}{239.73} \approx 1.002
\]
\]
					
				
			
		


Nota: La correlación calculada excede ligeramente 1 debido a errores de redondeo en los pasos intermedios. En la práctica, los coeficientes de correlación oscilan entre -1 y 1.
Interpretación: Un coeficiente de correlación cercano a 1 indica una relación positiva muy fuerte entre el azúcar residual y la calidad, reforzando la covarianza positiva observada anteriormente.

Ejemplo Práctico: Azúcar Residual vs. Calidad en el Vino
Consolidemos nuestra comprensión con un ejemplo práctico enfocado en la relación entre el azúcar residual y la calidad del vino.

Resumen del Conjunto de Datos


Observación
Azúcar Residual (\( Y \))
Puntuación de Calidad (\( X \))


1
3
50


2
4
100


3
5
200


4
6
250


5
7
300


6
8
400



Pasos para Analizar la Relación

Calcular las Medias:





		
		
			
			
Java
			
			\[
\mu_X \approx 216.67
\]
\[
\mu_Y = 5.5
\]
			
				
					
				
					1
2
3
4
5
6
				
						\[
\mu_X \approx 216.67
\]
\[
\mu_Y = 5.5
\]
					
				
			
		




Calcular las Desviaciones y los Productos:

- Como se demostró anteriormente, sume los productos de las desviaciones para encontrar la covarianza.


Determinar la Covarianza y la Correlación:

- Covarianza \( \approx 240 \)
- Correlación \( \approx 1.002 \)

Interpretación
La covarianza positiva y el alto coeficiente de correlación indican una relación positiva fuerte entre el azúcar residual y la puntuación de calidad. Esto sugiere que, en este conjunto de datos, a medida que el azúcar residual aumenta, la puntuación de calidad del vino también tiende a aumentar.
Advertencia: Aunque la correlación indica una relación fuerte, no implica causalidad. Otros factores podrían influir tanto en el azúcar residual como en las puntuaciones de calidad.

Pendientes Positivas y Negativas: Interpretando Relaciones
Entender la dirección de la relación entre variables es crucial para una interpretación precisa de los datos.

Pendiente Positiva
Una pendiente positiva implica que a medida que una variable aumenta, la otra variable también aumenta. Esto es evidente en nuestro ejemplo práctico donde tanto el azúcar residual como las puntuaciones de calidad se mueven en la misma dirección.

Pendiente Negativa
Una pendiente negativa indica que a medida que una variable aumenta, la otra disminuye. Por ejemplo, al analizar la relación entre el precio de un producto y su demanda, una correlación negativa podría sugerir que precios más altos llevan a una menor demanda.

Representación Visual
Crear un diagrama de dispersión con una línea de regresión ajustada puede ayudar a visualizar estas relaciones. Una pendiente positiva tenderá hacia arriba, mientras que una pendiente negativa tenderá hacia abajo.

Calculando Varianza, Covarianza y Correlación
Recorramos los cálculos paso a paso utilizando nuestro conjunto de datos.

Paso 1: Calcular las Medias




		
		
			
			
Java
			
			\[
\mu_X = \frac{50 + 100 + 200 + 250 + 300 + 400}{6} \approx 216.67
\]
\[
\mu_Y = 5.5
\]
			
				
					
				
					1
2
3
4
5
6
				
						\[
\mu_X = \frac{50 + 100 + 200 + 250 + 300 + 400}{6} \approx 216.67
\]
\[
\mu_Y = 5.5
\]
					
				
			
		



Paso 2: Calcular las Desviaciones y los Productos


\( X_i \)
\( Y_i \)
\( X_i - \mu_X \)
\( Y_i - \mu_Y \)
\((X_i - \mu_X)(Y_i - \mu_Y)\)


50
3
-166.67
-2.5
416.675


100
4
-116.67
-1.5
175.005


200
5
-16.67
-0.5
8.335


250
6
33.33
0.5
16.665


300
7
83.33
1.5
124.995


400
8
183.33
2.5
458.325


Suma de los Productos: \( \sum (X_i - \mu_X)(Y_i - \mu_Y) = 1,199.975 \)

Paso 3: Calcular la Covarianza




		
		
			
			
Java
			
			\[
\text{Cov}(X,Y) = \frac{1,199.975}{5} = 239.995 \approx 240
\]
\
			
				
					
				
					1
2
3
4
				
						\[
\text{Cov}(X,Y) = \frac{1,199.975}{5} = 239.995 \approx 240
\]
\
					
				
			
		



Paso 4: Calcular las Desviaciones Estándar

Desviación Estándar de \( X \):




		
		
			
			
Java
			
			\[
\sigma_X = \sqrt{16,446.6} \approx 128.22
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\sigma_X = \sqrt{16,446.6} \approx 128.22
\]
					
				
			
		



Desviación Estándar de \( Y \):




		
		
			
			
Java
			
			\[
\sigma_Y = \sqrt{3.5} \approx 1.87
\]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						\[
\sigma_Y = \sqrt{3.5} \approx 1.87
\]
					
				
			
		





Paso 5: Calcular la Correlación




		
		
			
			
Java
			
			\[
r = \frac{240}{128.22 \times 1.87} \approx 1.002
\]
\]
			
				
					
				
					1
2
3
4
				
						\[
r = \frac{240}{128.22 \times 1.87} \approx 1.002
\]
\]
					
				
			
		


Nota: Asegure la precisión en los cálculos para evitar discrepancias en los valores de correlación.

Conclusión
La varianza, la covarianza y la correlación son medidas estadísticas fundamentales que empoderan a los analistas para comprender de manera integral las distribuciones de datos y las relaciones entre variables. Al dominar estos conceptos, puedes descubrir patrones significativos, tomar decisiones informadas y liderar iniciativas estratégicas en diversos dominios.
Ya sea que te dediques a la ciencia de datos, finanzas, marketing o cualquier campo que dependa de conocimientos basados en datos, comprender estas herramientas estadísticas es indispensable. Recuerda, aunque las medidas estadísticas proporcionan información valiosa, siempre considera el contexto más amplio y otros factores influyentes para asegurar interpretaciones precisas y accionables.



Palabras Clave: Varianza, Covarianza, Correlación, Análisis de Datos, Medidas Estadísticas, Azúcar Residual, Calidad del Vino, Pendiente Positiva, Pendiente Negativa, Coeficiente de Correlación de Pearson, Dispersión de Datos, Variabilidad Conjunta, Relación Entre Variables
\( X_i \)	\( X_i - \mu \)	\( (X_i - \mu)^2 \)
50	-166.67	27,778
100	-116.67	13,611
200	-16.67	278
250	33.33	1,111
300	83.33	6,944
400	183.33	33,611
Observación	\( X_i - \mu_X \)	\( Y_i - \mu_Y \)	\( (X_i - \mu_X)(Y_i - \mu_Y) \)
1	-166.67	-2.5	416.675
2	-116.67	-1.5	175.005
3	-16.67	-0.5	8.335
4	33.33	0.5	16.665
5	83.33	1.5	124.995
6	183.33	2.5	458.325