S04L03 – 矩阵乘法

html
理解矩阵乘法：人工智能和机器学习的基本概念

目录

矩阵乘法基础
计算乘积矩阵
在Python中实现矩阵乘法
结论


矩阵乘法基础
本质上，矩阵乘法涉及两个矩阵：一个维度为 \(3 \times 2\) 的矩阵，另一个维度为 \(2 \times 3\) 的矩阵。这两个矩阵的乘法是可能的，因为第一个矩阵的列数（2）与第二个矩阵的行数（2）相匹配。遵守此规则对于乘法的有效性至关重要。

需要记住的关键规则

维度兼容性：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。在我们的例子中，两者都是2，这使得乘法成为可能。
顺序重要：矩阵乘法不是交换律的。将第一个矩阵乘以第二个矩阵在形状和内容上与将第二个矩阵乘以第一个矩阵的结果不同。具体来说：
    
        \(3 \times 2\) 乘以 \(2 \times 3\) 得到一个 \(3 \times 3\) 的矩阵。
        相反，\(2 \times 3\) 乘以 \(3 \times 2\) 得到一个 \(2 \times 2\) 的矩阵。
    


这些差异强调了矩阵乘法顺序的重要性。

计算乘积矩阵
要计算两个矩阵的乘积，遵循以下步骤：

识别行和列：取第一个矩阵的行和第二个矩阵的列。
相乘并求和：对于结果矩阵中的每个元素，将来自行和列的对应元素相乘并求和。


逐步示例
考虑以下矩阵：

\[
A = \begin{bmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3 \\
4 & 6 \\
\end{bmatrix}_{3 \times 2}, \quad
B = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{bmatrix}_{2 \times 3}
\]

要找到乘积 \(C = A \times B\)，请对矩阵 \(C\) 中的每个元素执行以下计算：

第一行，第一列：
  \[
  (2 \times 1) + (5 \times 4) = 2 + 20 = 22
  \]

第一行，第二列：
  \[
  (2 \times 2) + (5 \times 5) = 4 + 25 = 29
  \]

第一行，第三列：
  \[
  (2 \times 3) + (5 \times 6) = 6 + 30 = 36
  \]


对其余行和列应用相同的方法将得到完整的乘积矩阵：

\[
C = \begin{bmatrix}
22 & 29 & 36 \\
13 & 17 & 21 \\
28 & 38 & 48 \\
\end{bmatrix}_{3 \times 3}
\]


在Python中实现矩阵乘法
虽然像NumPy这样的库简化了矩阵运算，但理解基本过程是有益的。以下是一个不使用外部库的简单Python实现：




		
		
			
			
Java
			
			# Define the matrices
A = [
    [2, 5],
    [1, 3],
    [4, 6]
]

B = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6]
]

# Dimensions
fr, fc = 3, 2  # A is 3x2
sr, sc = 2, 3  # B is 2x3

# Initialize the result matrix with zeros
C = [[0 for _ in range(sc)] for _ in range(fr)]

# Perform multiplication
for i in range(fr):
    for j in range(sc):
        for k in range(fc):
            C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]

# Display the result
for row in C:
    print(row)
			
				
					
				
					1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
				
						# Define the matrices
A = [
    [2, 5],
    [1, 3],
    [4, 6]
]
 
B = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6]
]
 
# Dimensions
fr, fc = 3, 2  # A is 3x2
sr, sc = 2, 3  # B is 2x3
 
# Initialize the result matrix with zeros
C = [[0 for _ in range(sc)] for _ in range(fr)]
 
# Perform multiplication
for i in range(fr):
    for j in range(sc):
        for k in range(fc):
            C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
 
# Display the result
for row in C:
    print(row)
					
				
			
		


输出：




		
		
			
			
Java
			
			[22, 29, 36]
[13, 17, 21]
[28, 38, 48]
			
				
					
				
					1
2
3
				
						[22, 29, 36]
[13, 17, 21]
[28, 38, 48]
					
				
			
		


这个脚本通过迭代行和列，执行必要的乘法和加法来形成乘积矩阵，从而实现了两个矩阵的乘法。

结论
矩阵乘法虽然看似简单，但在人工智能和机器学习中是一个强大的工具。它作为各种算法的基础，包括用于神经网络和数据转换的算法。理解其原理并能够从头实现它，增强了理解更复杂的数学概念及其在技术中的应用的能力。
通过深入研究上述演示的矩阵乘法机制，学习者可以为在人工智能和机器学习领域的进步打下坚实的基础。