S10L01 – 测量熵和基尼

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理解决策树：熵、基尼不纯度及其实际应用

目录

什么是决策树？
决策树的关键组成部分
决策树如何做出决策
决策树中的不确定性处理
熵：衡量不确定性
基尼不纯度：更简便的替代方案
决策树的实际应用
结论




什么是决策树？

决策树 是机器学习中用于基于各种条件做出决策的图形表示。它通过将复杂问题分解为更小、更易管理的部分，模仿人类的决策过程。每个内部节点代表基于特定特征的决策点，而每个叶节点表示结果或分类。

示例：打羽毛球决策树

考虑一个简单的场景，根据周末和天气条件决定是否打羽毛球：


根节点： 是周末吗？
  
    是：继续检查天气。
    否：不打羽毛球。
  

子节点： 是晴天吗？
  
    是：打羽毛球。
    否：不打羽毛球。
  



这个例子说明了决策树如何通过各种条件导航以得出决策。

决策树的关键组成部分

理解决策树的结构对于有效地构建和解释它们至关重要。

1. 根节点


定义：决策树中最顶层的节点，所有决策从这里分支出来。
示例：在我们的羽毛球例子中，“是周末吗？”是根节点。


2. 父节点和子节点


父节点：一个上层节点，分裂成一个或多个子节点。
子节点：直接从父节点衍生出来的节点。
示例：“是晴天吗？”是“是周末吗？”的子节点。


3. 叶节点


定义：终端节点，表示最终结果或决策。
示例：“打羽毛球”或“不打羽毛球”。


4. 边


定义：节点之间的连接，表示从一个决策到另一个决策的流程。
示例：从“是周末吗？”指向“是”或“否”的箭头。


5. 兄弟节点


定义：具有相同父节点的节点。
示例：从“是周末吗？”节点分出的“是”和“否”分支。


决策树如何做出决策

决策树通过首先评估最重要或主导节点来操作。主导通常由评估节点有效分裂数据能力的指标决定。一旦选择了一条路径，该过程是单向的，意味着决策是按顺序做出的，而不会回到以前的节点。

主导节点和根选择

根节点的选择基于其在决策过程中的主导性。在我们的例子中，“是周末吗？”在决定是否打羽毛球方面是一个主导因素，使其成为理想的根节点。

决策树中的不确定性处理

现实世界的情景通常涉及不确定性。例如，“部分晴天”等天气条件会在决策过程中引入模糊性。为了解决这一点，决策树采用了量化不确定性并相应指导决策路径的措施。

衡量不确定性：熵和基尼不纯度

决策树中用于衡量不确定性的两种主要指标是：


熵：源自信息理论，量化不可预测性或混乱的程度。
基尼不纯度：衡量错误分类随机选择元素的可能性。


熵：衡量不确定性

熵 是信息理论中的一个基本概念，用于衡量数据集中的不确定性或杂质。

理解熵


公式：
  



		
		
			
			
Java
			
			H(X) = -p log<sub>2</sub>(p) - q log<sub>2</sub>(q)
			
				
					
				
					1
				
						H(X) = -p log<sub>2</sub>(p) - q log<sub>2</sub>(q)
					
				
			
		


  其中：
  
    p 是一个结果的概率。
    q 是另一结果的概率。
  

解释：
  
    高熵 (1.0)：最大不确定性（例如，公平的抛硬币，概率为50-50）。
    低熵 (0.0)：无不确定性（例如，周末打羽毛球的概率为100%）。
  



示例：抛硬币

一个公平的硬币有：


p = 0.5（正面）
q = 0.5（反面）






		
		
			
			
Java
			
			H(X) = -0.5 log<sub>2</sub>(0.5) - 0.5 log<sub>2</sub>(0.5) = 1.0
			
				
					
				
					1
				
						H(X) = -0.5 log<sub>2</sub>(0.5) - 0.5 log<sub>2</sub>(0.5) = 1.0
					
				
			
		



实际应用：决策树分裂

利用熵，决策树通过计算信息增益来确定最佳分裂特征，即基于某一特征分裂数据集后熵的减少量。

Python 实现





		
		
			
			
Java
			
			import math

def calculate_entropy(p):
    if p == 0 or p == 1:
        return 0
    return -p * math.log2(p) - (1 - p) * math.log2(1 - p)

# 示例：抛硬币
prob_head = 0.5
entropy = calculate_entropy(prob_head)
print(f"Entropy: {entropy}")  # 输出: Entropy: 1.0
			
				
					
				
					1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
				
						import math
 
def calculate_entropy(p):
    if p == 0 or p == 1:
        return 0
    return -p * math.log2(p) - (1 - p) * math.log2(1 - p)
 
# 示例：抛硬币
prob_head = 0.5
entropy = calculate_entropy(prob_head)
print(f"Entropy: {entropy}")  # 输出: Entropy: 1.0
					
				
			
		



基尼不纯度：更简便的替代方案

虽然熵提供了一个强大的不确定性衡量方法，基尼不纯度则提供了一个计算上更简单的替代方案。

理解基尼不纯度


公式：
  



		
		
			
			
Java
			
			G(X) = 1 - (p<sup>2</sup> + q<sup>2</sup>)
			
				
					
				
					1
				
						G(X) = 1 - (p<sup>2</sup> + q<sup>2</sup>)
					
				
			
		


  其中：
  
    p 和 q 是各自结果的概率。
  

解释：
  
    高基尼不纯度：较高的错误分类概率。
    低基尼不纯度：较低的错误分类概率。
  



与熵的比较



指标
公式
范围


熵
H(X) = -p log₂(p) - q log₂(q)
0 到 1


基尼不纯度
G(X) = 1 - (p² + q²)
0 到 0.5



基尼不纯度通常更容易且更快速计算，使其在许多机器学习算法中成为流行的选择。

示例：抛硬币

对于一个公平的硬币（p = 0.5）：





		
		
			
			
Java
			
			G(X) = 1 - (0.5<sup>2</sup> + 0.5<sup>2</sup>) = 0.5
			
				
					
				
					1
				
						G(X) = 1 - (0.5<sup>2</sup> + 0.5<sup>2</sup>) = 0.5
					
				
			
		



Python 实现





		
		
			
			
Java
			
			def calculate_gini(p):
    return 1 - (p**2 + (1 - p)**2)

# 示例：抛硬币
prob_head = 0.5
gini = calculate_gini(prob_head)
print(f"Gini Impurity: {gini}")  # 输出: Gini Impurity: 0.5
			
				
					
				
					1
2
3
4
5
6
7
				
						def calculate_gini(p):
    return 1 - (p**2 + (1 - p)**2)
 
# 示例：抛硬币
prob_head = 0.5
gini = calculate_gini(prob_head)
print(f"Gini Impurity: {gini}")  # 输出: Gini Impurity: 0.5
					
				
			
		



决策树的实际应用

决策树用途广泛，可以应用于各个领域：


医疗保健：基于患者症状和病史诊断疾病。
金融：信用评分和风险评估。
市场营销：客户细分和目标策略。
工程：预测性维护和故障诊断。
零售：库存管理和销售预测。


它们处理分类和数值数据的能力使其成为许多现实问题的首选工具。

结论

决策树是强大的工具，它们为机器学习中的决策过程提供了清晰且可解释的模型。通过理解熵和基尼不纯度的核心概念，实践者可以有效地构建和优化用于广泛应用的决策树。无论您是初学者涉足机器学习，还是经验丰富的专业人士，掌握决策树都能显著提升您的分析能力。



关键词：决策树, 机器学习, 熵, 基尼不纯度, 信息理论, 人工智能, 分类, 回归, 数据科学, 预测建模
指标	公式	范围
熵	H(X) = -p log₂(p) - q log₂(q)	0 到 1
基尼不纯度	G(X) = 1 - (p² + q²)	0 到 0.5